MATEMÁTICA

Competencia:

Razones Trigonométricas

CONTENIDOS:

• Aplicar correctamente el teorema de Pitagoras.
• Determinar las razones trigonométricas dado un angulo de referencia.

Cómo usar el teorema de Pitágoras

Hace más de 2,500 años, el matemático griego Pitágoras descubrió un teorema que todavía se usa en la actualidad. El teorema de Pitágoras declara que: para un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los lados es igual al cuadrado de la hipotenusa. Escrito en términos matemáticos: a² + b² = c².
Hay muchas formas de aplicar este teorema. Por ejemplo, puede usarse para encontrar la distancia entre dos ciudades usando un punto de referencia o la magnitud de un vector si se tienen los componentes horizontales y verticales.

Método 1 de 4: En triángulos rectángulos

1: Escribe el teorema de Pitágoras: a² + b² = c², y dibuja el triángulo que vas a resolver.

2: Etiqueta tu dibujo. Etiqueta los lados cortos como 'a' y 'b' (no importa qué lado sea 'a' o 'b'), y etiqueta la hipotenusa (el lado más largo, el opuesto al ángulo recto) 'c'.

3: Determina qué lado del triángulo vas a resolver para: 'a', 'b', o 'c'. Usualmente te dan dos lados y usas la fórmula para sacar el largo del tercer lado.

4: Reescribe la ecuación con los valores que conoces.

•          Si te dan la medida de dos lados (digamos 3 y 4), escribe:

3² + 4² = c²

•          Si te dan un lado y la hipotenusa (3 & 5), escribe:

3² + b² = 5²

5: Calcula los cuadrados.

•          El primer ejemplo de arriba debería escribirse de esta forma: 9 + 16 = c ².

•          El segundo: 9 + b² = 25.

6: Combina los términos iguales.

•          En este caso todos los términos del lado izquierdo de la ecuación son constantes, así que podemos sumarlos para obtener: 25 = c².

•          En el segundo ejemplo necesitaremos restar 3² de ambos lados de la ecuación para aislar la variable.

7: Toma la raíz cuadrada.

•          Después de tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, te quedas con:

c = 5.

Ejemplo: Dado que la hipotenusa es 10, y un lado es 8, encuentra la medida del otro lado.

a² + b² = c²

(8)² + b² = (10)²

64 + b² = 100

b² = 100 - 64

b² = 36

b = raíz cuadrada de 36

b = 6

Ejemplo: Una escalera está inclinada en contra de un edificio. La base de la escalera esta a 5 metros de la pared. La escalera mide 20 metros de la pared. ¿Qué tan larga es la escalera?

“5 metros de la pared a la escalera” significa que 'a' = 5.

”alcanza 20 metros hacia arriba en la pared” significa que 'b' = 20.

El largo de la escalera es la hipotenusa, así que no sabemos la medida de 'c'.

a² + b² = c²

(5)² + (20)² = c²

25 + 400 = c²

425 = c²

c = raíz cuadrada de 425

c = 20.6 (redondeado)

Así que el largo de la escalera es de 20.6 metros aproximadamente.

Método 2 de 4: Como parte de una fórmula de distancia

La formula de distancia se usa en la geometría para encontrar la distancia de la línea recta entre dos puntos.

1: Decide qué puntos usar. Usualmente los puntos son dados como pares.

2: Coloca los puntos en una gráfica, (x,y) dónde 'x' es el eje horizontal y 'y' es el eje vertical.

3: Encuentra el largo de los lados de tu triángulo. Encuentra el largo de los lados de tu triángulo. Puedes hacer esto contando la diferencia en la gráfica, o usando (x1 - x2) para la 'x', y (y1 - y2) para la 'y'.

4: Usa el teorema de Pitágoras. La distancia entre los puntos es la hipotenusa del triángulo.

Ejemplo:

Usando los puntos (3,5) y (6,1):

3 - 6 = -3 (x)

5 - 1 = 4 (y)

(-3)² + (4)² = c²

c = sqrt(9 + 16)

c = sqrt(25)

c = 5

Método 3 de 4: En triángulos que no son rectángulos usando la trigonometría

Esta sección usa el ejemplo de las dos ciudades anteriores; en este caso necesitarás resolver la distancia de la ciudad A a la ciudad C.

Para este ejemplo, asumimos que se conoce la medida de los lados 'a' y 'b'.

1: Dibuja un triángulo.

2: Dibuja la altitud. La altitud es la línea perpendicular de la hipotenusa que pasa a través del vértice opuesto. En este caso la altitud es 'c'.

3: Mide el ángulo entre la línea conectando la ciudad A a la B y la línea de altitud.

•          Comúnmente el ángulo será dado en este tipo de problemas. De no ser así, usa un transportador.

4: Usa la función trigonométrica de coseno para encontrar el largo de la altitud:

Si el largo 'a' se tiene, entonces: Cos(A) = c/a   y   c = aCos(A)

5: Usa el teorema de Pitágoras para encontrar el largo de la línea de la ciudad A a la altitud:

x1 = sqrt(a2 – c2)

6: Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre la línea de altitud y la ciudad C:   x2 = sqrt(b2 – c2)

7: Toma la suma de x1 y x2.

8: Ejemplo:   Vives en la ciudad A y tienes un amigo que vive en la ciudad C, y quieres saber qué tan lejos vive él. Sabes que son 50 millas manejando a la ciudad B, y luego otras 100 millas de la ciudad B a la ciudad C. ¿Pero cuántas millas serían en línea recta de la ciudad A a la C? (Redondea todos los cálculos).

•          Dibuja la línea de altitud y mide el ángulo.

•          Usa la función de coseno para encontrar el largo de la altitud:

largo = 50 x Cos(30) = 50 x .866 el cual se redondea a 43.3 millas.

•          Usa el teorema de Pitágoras para encontrar el largo de x1:

x1 = sqrt(502 - 43.32) = sqrt(625.11) = 25.0 millas.

•          Usa el teorema de Pitágoras para encontrar el largo de la distancia x2:

x2 =sqrt(1002 - 43.32) = sqrt(8125.1) = 90.1 millas.

•          Suma las dos distancias para encontrar la distancia total: x1 + x2 = 25 + 90.1 = 115.1 millas.

Método 4 de 4: En la suma de vectores

El teorema de Pitágoras se usa cuando vas a resolver vectores. Esto se hace separando los vectores en componentes de ‘x’ y ‘y’ (y 'z' en 3D), y sumándolos como componentes. El resultado (los lados del triángulo rectángulo) puede usarse para resolver para el resultante (hipotenusa).

1: Separa los vectores en componentes 'x' y 'y'. Los vectores tienen dirección y magnitud; la dirección es el ángulo creado en contra de las manecillas del reloj desde un eje-x positivo, y la magnitud es el largo del vector. Para separar el vector en componentes, tendrás que usar la trigonometría. Por ejemplo, un vector con magnitud “M” y un ángulo de “30”.

•          x = M*cos(30)

•          y = M*sin(30)

2: Suma los componentes iguales. Ahora que tus vectores están separados en componentes 'x' y 'y', toma la suma de los componentes-x y la suma de los componentes-y. Estos son los lados de tu triángulo.

3: Usa el teorema de Pitágoras. En este caso (la suma de x)² + (la suma de y)² = c², donde 'c' es la magnitud.

Ejemplo:

Sumando los vectores (10,30) y (15, 45):

[10cos(30) + 15cos(45)] = 19.27 (redondeado) (x)

[10sin(30) + 15sin(45)] = 15.61(redondeado) (y)

(19.27)² + (15.61)² = c²

c = sqrt(371.3329 + 243.6721)

c = sqrt(615.005)

c = 24.80